Transformation Matrix

Umwandlungsmatrix

Den Basis-Switch kann man durch eine Matrix beschreiben, die als Basis-Switch-Matrix, Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix bezeichnet wird. Die Transformationsmatrix, Matrix, die die Transformation in einer (linearen) Koordinatentransformation beschreibt. mw-headline" id="Basiswechselmatrix">Basiswechselmatrix=-editsection-bracket">[Bearbeiten> | | Quelltext bearbeiten]> Dies ist der übergang zwischen zwei unterschiedlichen Grundlagen eines endlichen dimensionalen Vektorraumes über einem Body K{\displaystyle K}. In der Regel werden dadurch die Koordinate der Vektor- und Bildmatrizen von Linearbildern verändert. Den Basisschalter kann man durch eine Matrix beschreiben, die als Basisschaltermatrix, Transformationsmatrix oder Übergangsmatrix bezeichne.

Es kann auch verwendet werden, um die Koordinate in Bezug auf die neue Grundlage zu berechnen.

Werden die Grundvektoren der bisherigen Base als lineare Kombinationen der Vektorwerte der neuen Base dargestellt, so ergeben die Beiwerte dieser linearen Kombinationen die Eingänge der Basisschaltermatrix. Zwei bestellte Grundlagen sind in V{\displaystyle V}, B=(b1,...,bn){\displaystyle B=(b_{1},\ldots ,b_{n})} und B?=(b1?,....,bn?){\displaystyle B'=(b_{1}',\ldots ,b_{n}')} angegeben. Der Basisschaltermatrix TB?B{\displaystyle T_{B'}^{B}} für den Basisschalter von B{\displaystyle B} zu B?{\displaystyle B'} ist eine n×n{\displaystyle n\times n} Matrix.

Dies ist die Mapping-Matrix der Identitätskartierung auf der Grundlage von B im Originalbild und B' im Bild: Sie wird erhalten, indem die Vektorgrafiken der neuen Grundlage B'} als lineare Kombinationen von Vektorgrafiken der neuen Grundlage B? {\displaystyle B{}'} dargestellt werden: Die Matrix ist viereckig und invers und somit ein Bestandteil der allgemeinen Lineargruppe GL(n,K){\displaystyle \mathrm {GL}.

Ihr inverser (TB?B)-1=TBB?{TBB?{}} (T_{B'}^{B})^{-1}=T_{B}^{B'}} bezeichnet die Basisänderung von B?{\displaystyle B'} zurück zu B{\displaystyle B}. Das heisst, errechnen, wo ('B?)-1{style (B')^{-1}} die Umkehrmatrix der Matrix B?{\displaystyle B'} ist. Im Besonderen, wenn B{displaystyle B} die voreingestellte Grundlage ist, wird TB?B=(B?)-1{\displaystyle T_{B'}^{B}=(B')^{-1}} verwendet. Falls B?{\displaystyle B'} die voreingestellte Datenbank ist, trifft TB?B=B{\displaystyle T_{B'}^{B}=B} zu. Der Basisstil B wird wie im vorherigen Beispiel mit der Matrix bezeichnet, die man durch Schreiben der Basenvektoren als Säulenvektoren und deren Kombination zu einer Matrix erlangt.

Eine Vektordarstellung von v?V{\displaystyle v\in V} hat Bezug auf Base B=(b1,...., bn){\displaystyle B=(b_{1},\dots ,b_{n})} coordinates x1,...,xn{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}, d. h. oder in Matrixnotation: oder kurz: Die Anzeigematrix eines Linienbildes ist abhängig von der Auswahl der Grundlagen im Originalbild und im Zielbereich. Wenn Sie andere Grundlagen wählen, erhalten Sie auch andere Bildmatrizen. angezeigt, etc.

Die folgenden Angaben beziehen sich auf die bestellten Grundlagen A=(a1,..., an){\displaystyle A=(a_{1}, \dots ,a_{n})} und A?=(a1?,....,an?){\displaystyle A''=(a_{1}{}',\dots ,a_{n}}')}, die bestellten Grundlagen B=(b1,....,bm){\displaystyle B=(b_{1},\dots ,b_{m})} und B?=(b1?,...,bm?){\displaystyle B''=(b_{1}{}',\dots ,b_{m}{m}')}. Für die Anzeigematrizen von f{displaystyle f} in Bezug auf A{displaystyle A} und B{displaystyle B} bzw. in Bezug auf A?{displaystyle A'} und B?{displaystyle B'} gelten dann folgende Bedingungen: Schreiben.

Bei geeigneter Auswahl der Grundlagen ist die Bildgebungsmatrix der Konkatenation das Matrixprodukt der jeweiligen Bildgebungsmatrizen: de l'opérateur {id}. _{V}}, die Grundlage A {\displaystyle A} im Bild des idV {\displaystyle \nom de l'opérateur {id}. _{V}} und im Urbild d' von f {}displaystyle f},

Also erhalten Sie: Ein bedeutender Sonderfall ist, wenn f:V?V {\displaystyle f\colon V\to V} ein endomorpher Zustand ist und die Base B{\displaystyle B} oder B {\displaystyle B'} im Prototyp bzw. in der Abbildung verwendet wird. Danach gilt: Die Mapping-Matrizen MB?B?(f){_B'}^{B'}(f)} und MBB (f){\displaystyle M_{B}^{B}(f)} sind vergleichbar. Dabei werden die Vektordarstellungen der Koordinaten der Vektorwerte in Bezug auf die Normbasis beschrieben.

resultiert aus der Repräsentation der bisherigen Grundvektoren (b1,b2,b3){\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3})} hinsichtlich der neuen Base (b1?, Um die Koordinate bzgl: B {\displaystyle B'} zu errechnen, müssen wir mit diesem Spaltvektor die Transformationsmatrix TB?B{\displaystyle T_{B'}^{B}} multiplizieren: So v = 5b1?+2b2?+0b3?{\displaystyle v = 5b_{1}'+2b_{2}'+0b_{3}'}. Das gleiche Resultat wie die Skalarmultiplikation von v {\displaystyle {\vec {v}}} mit diesem Grundvektor, also sind die beiden Vektortypen identisch:

Es wird ein Vector angegeben, der von einer Base abgeleitet ist (v?,....,a?n){\displaystyle ({\vec {a}}}_{1}, an die Base (....,..., b?n){\vec {b}}}}_{1}, \ldots ,{\vec {b}}_{n})}. Dies wird erreicht, indem jeder einzelne Basenvektor entsprechend a?j=(b?i?a?j)b?i {\vec {a}}}}_{j}=({\vec {b}}}}^{i}\cdot {\vec {a}_{j}){\vec {b}}}_{i}}} durch die neue Datenbank drückt:: Der Kehrwert der Basis-Switch-Matrix hat, wie oben angegeben, die Bestandteile (TQP)ij-1=p?i?q?j,{\displaystyle (T_{Q}^{P})_{ij}^{-1}={\vec {p}}}}^{i}\cdot {\vec {\q}}_{j},} weil die Matrixmultiplikationsergebnisse für die Bestandteile ij: Basis-Switchmatrix verschiedene Applikationsmöglichkei ten in Matrizen der Matrizentechnik und bei den physikalischen Anwendungen haben.

Die Matrix-Multiplikation ist von der Ordnung O(n2,3727){\displaystyle O(n^{2,3727})}, wir bekommen eine Kompliziertheit von O(n2,

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